1. 化简：（x ）

解：原式= = =x-y

2. 等比数列的首项是i，公比是（1+1/i），求此数列的第七项。

解：a7=a1×q6=i×（1+1/i）6=i×（1+i）6/i6=（1+2i-1）3/i5=（2i）3/i5=8/i2=-8

3. 解方程：logsinxcosxsinxlogsinxcosxcosx=1/4

解：logsinxsinxlogsincosx/logsinx（cosx+1）2=1/4

4logsincosx=logsinxcosx2+2logsinxcosx+logsinx1

logsinxcosx2-2logsinxcosx=0，logsinxcosx（logsinxcosx-1）=0

logsinxcosx=0，cosx=1，x=0，（logsinxcosx-1）=0

tanx=1，x=45°x 0，所以，x=k + /4

4. 画出函数y=︱x︱（1-x）的图像，并结合图像讨论这个函数的单调性。

解：当x 0时，︱x︱=x此时函数y=x（1-x）=-x2+x

其二次项系数a=-1 ，图象开口向下：x=-b/2a=-1/2×（-1）=1/2

当x 时，︱x︱=-x，此时，函数的二次项系数a=1 0，图象开口向上，对称轴x=-b/2a=--1/2×1=1/2

当x 0时，y=-x2+x，对称轴x=1/2，开口向下。

在区间上，函数单调递增，因为在对称轴左侧，函数值随着x的增大而增大。

在区间

1/2,+ )上，函数单调递减，因为在对称轴右侧，函数值随着x的增大而减小，

当x 0时，对于函数y=x2-x，对称轴为x=1/2，开口向上。

在区间（- 上，函数单调递减，因为在这个区间上，函数值随着x的增大而减小。

对于y=-x2+x（x 0）当x=0时，y=0，当x=1/2时，y=1/4可根据此画出 x 0部分的抛物线。

对于y=x2-x（x ）当x=0时，y=0，根据其开口向上和对称轴的性质，画出x 部分的抛物线。

函数y=︱x︱（1-x）在（- ，0）和

1/2,+ - ）上单调递减，在上单调递增。

5. 解方程：（ ）x+（ ）x=6

解：设 ）x=y

则原方程为：y+/y=6两边平方：y2-6y+1 =0

y=6 /2=3 ，则x1=2，x2=-2

6. 圆台形水桶上底半径为15cm，下底半径为10cm，母线长为30cm，求上底面圆周上一点出发，在圆台侧面上饶一周，再回到此点的最短距离是多少？

解：1. 圆台侧面展开图：

圆台的侧面展开图是一个扇环（即大扇形减去小扇形）。

设展开后的大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角为 。

2. 几何关系：

母线长l = R - r = 30 cm。

上下底周长与展开图弧长的关系：

2 1 = R, 2 2 = r

代入数值：

2 15 = R, 2 10 = r

两式相除得：

R/r= 15/10 =3/2 ，R = 1.5r

结合 ( R - r = 30，解得：

1.5r - r = 30 r = 60 cm, R = 90 cm

圆心角：

= 2 10/60 = /3，（即60°）

3. 最短路径：

展开后的扇环中，起点和终点位于大扇形的同一条半径上。

最短路径为展开图中连接两点的直线段长度。

展开图的大扇形圆心角 = 60°，因此起点和终点的夹角为60°

利用余弦定理计算直线距离：

d = =\

d = = = 30 cm

7. 设 都是锐角，且互不相等，且sin +sin +sin =0

cos +cos +cos =0

求证： 成等差数列。

证明：由已知条件得到：sin +sin =-sin1

cos +cos =-cos2

对1和2式两边平方得到：

sin2 +sin2 +2sin sin = sin23

cos2 +cos2 +2cos cos =cos24

3+4得：sin2 +sin2 +2sin sin + cos2 +cos2 +2cos cos = sin2 cos2

2cos（ - ）=-1

cos（ - ）=-1/2

因为 是锐角，且 0，所以， - = 120°，又因为 是锐角，设 则 - =120°， = +120°

根据和差化积公式：

sin +sin =2sin + /2cos - /2

sin =-（sin +sin ）=-2sin + /2cos - /2

cos +cos =2cos + /2cos - /2

cos =-（cos +cos ）=-2cos + /2cos - /2

由sin +sin =-sin 和cos +cos =-cos 可得：

tan + /2=tan

因为 是锐角，所以 + /2=

+ =2

又因为 - =120°

联立可得：

+ =2

- =120°

两式相加得：

=2 +120°， = +60°两式相减得：

=2 -120°， -60°所以，

- =-120°

- =120°整理得到：2 = + ，

所以， 成等差数列。

8. 设半圆0的直径AB=1，P为半圆轴上一动点，PC是圆的切线，且PC=AB，求四边形ABCP的面积为何时最大？最大面积是多少？

解：建立坐标系：

设半圆O的直径为AB,A(-0.5,0),B(0.5,0),O(0,0)

半圆的方程为：x2+y2=（1/2）2

点P在半圆上，坐标为（0.5cos ，0.5sin ）， （0， ）

切线PC的方程为：

从圆心到P的向量为（0.5cos 切线的斜率为：m=-cos /sin ，

y-0.5 =-cos /sin x-0.5cos ）

点C的坐标：PC=1,且C在切线上，

从P点出发，沿切线方向移动距离为1，切线方向的向量为（sin ，-cos ），C点坐标：(0.5cos +sin ， -cos )

四边形ABCP的顶点按顺序为：

A(-0.5,0),B(0.5,0)，C (0.5cos +sin ， -cos )，

P（0.5cos

根据多边形面积公式：S=1/2 xAyB+xByC+xCyP+xPyA-（yAxB+yBxC+yCxP+yPxA）=1/2（0.5sin +0.5cos +1/2）

= sin（ - /4）/4+1/4

当 - /4= /2时， 时，S最大值= +1/4

9. 直角三角形内切圆半径为r，直角平分线的长为m，以两直角边为根，作一个一元二次方程。

解：1. 设定变量：

设直角三角形的两直角边为a和b，，斜边为c。

由内切圆半径公式： r =( a + b – c)/2。

直角平分线长公式：m= ab/a+b

2. 几何关系：

由勾股定理： c =

代入内切圆半径公式：

r = (a + b - )/2

由直角平分线长公式：

m= ab/a+b

3. 构造一元二次方程：

以 a和b为根的一元二次方程为：

x2 - (a + b)x + ab = 0

需要将

a + b 和ab用r和 m表示。

4. 求解a + b和ab：

由内切圆半径公式：

a + b = 2r +

平方后整理：

(a + b) 2 = 4r2 + a2 + b2 + 4r\

化简：

2ab = 4r2 + 4r\

ab = 2r2 + 2r

由直角平分线长公式：

m = ab/a+b

代入ab 的表达式：

m= (2r2 + 2r )/a+b

注意到a + b = 2r +

设 = k，则：

m= (2r2 + 2rk)/2r+k

化简：

m= (2r2 + 2rk)/2r+k

解关于 k 的方程：

m(2r + k) = (2r2 + 2rk) \

2rm+ mk = 2 r2+ 2 r2 k

k(m - 2 r) = 2 r2 - 2rm

k = 2 r2 -2rm/m- 2 r

因此：

= 2 r2 -2rm/m- 2 r

代入a + b = 2r + 和ab = 2r2 + 2r

可进一步求出a + b 和ab

5. 构造方程：

将a + b 和ab 的表达式代入x2 - (a + b)x + ab = 0，得到最终的一元二次方程。

以两直角边为根的一元二次方程为：

x2 - (2r + 2 r2 -2rm/m- 2 r)x +

2r2 + 2r（2 r2 -2rm）/m- 2 r

= 0

10. 设抛物线y=x2-（2 sin ）x+2，其中 /2，（1）求抛物线顶点轨迹c的方程

（2）求过C与坐标轴的三个焦点的圆Q的方程

（3）证明曲线C不在圆Q的外部。

解：y=x2-（2 sin ）x+2，（ /2），则

A=1，b=-2 sin ，c=2，设顶点坐标为（h，k）

h=-b/2a=2 sin /2= sin

k=c-b2/4a=2-（2 sin ）2/4=2-2sin2 =2（1-sin2 ）=2cos2

h= sin ，sin =h/ ，则k=2-h2

顶点C的轨迹方程为:y=2-x2

（2）抛物线与y坐标轴的交点：x=0，y=2即（0，2）

令y=0，x2-（2 sin ）x+2=0

判别式：Δ=（2 sin ）2-8=8（sin2 -1） 0

当 = /2或 =- /2，sin = 1，此时，Δ=0，抛物线与x轴相切于x= sin = ，则三个交点为：（0，2），（ ，0）（- ，0）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0

代入：（0，2），4+2E+F=0

代入：（ ，0） D+F+2=0

代入：（ ，0）- D+F+2=0

解得：D=0,E=-1,F=-2，则圆的方程为：

x2+y2-y-2=0,x2+(y-1/2)2=9/4，圆心为（0，1/2），半径为3/2

（3）曲线c的方程为：y=2-x2代入圆的方程： x2+y2-y-2=0,

化简：x=0，或x=

这些解对应得曲线c与圆Q的交点（0，2），（ ，0）（- ，0），当x2 2， x ，曲线c上的点在圆Q内或边界上。因此，曲线c不在圆Q的外部。